Algèbre: Chapitre 8 by N. Bourbaki PDF

By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540353151

ISBN-13: 9783540353157

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Soit M un A-module de type fini non nul. Il existe un idéal bilatère a de A, annulateur d’un A-module simple, tel que aM soit distinct de M. Soit N un sous-module maximal de M (prop. 3) et soit a l’annulateur du Amodule simple M/N ; c’est un idéal bilatère de A et l’on a a(M/N) = 0, d’où aM ⊂ N et par suite aM = M. Corollaire 2. — Soient A un anneau commutatif et B une A-algèbre. Soit M un B-module simple qui est un A-module de type fini et soit m l’annulateur du A-module M. Alors m est un idéal maximal de A et M est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps A/m.

31, donc dimK M hypothèse, l’égalité E = K · 1M résulte alors du lemme suivant : Lemme 1. — Soient E un corps et K un sous-corps du centre de E, distinct de E. Si le corps K est algébriquement clos, on a [E : K] Card(K). Soient x un élément de E K et L le sous-corps (commutatif) de E engendré par K ∪ {x}. Comme K est algébriquement clos, x est transcendant sur K. D’après VII, p. 10, th. 2 et p. 11, les éléments (x − α)−1 de L, où α parcourt K, sont linéairement indépendants sur K. On a donc [E : K] [L : K] Card(K).

Proposition 4. — a) Un module primordial est indécomposable. b) Un module indécomposable de longueur finie est primordial. 29 Soit M un A-module. Supposons M primordial ; soit e un idempotent de l’anneau local EndA (M). Comme e2 = e, ou bien e est inversible et l’on a e = 1, ou bien 1 − e est inversible et l’on a e = 0. Ceci prouve que M est indécomposable (VIII, p. 27). Supposons maintenant que M soit indécomposable et de longueur finie. D’après la prop. 2, c) de VIII, p. 25, tout endomorphisme de M est inversible ou nilpotent ; l’anneau EndA (M) est donc local d’après l’exemple 2 de VIII, p.

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by Richard
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