Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer - download pdf or read online

By Otto Forster

ISBN-10: 3658003162

ISBN-13: 9783658003166

ISBN-10: 3658003170

ISBN-13: 9783658003173

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am desktop nachvollzogen werden können. Die vorliegende eleven. Auflage wurde um einige Aufgaben und Beispiele erweitert.

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Zeichnet man die Zahlengerade waagrecht, so denkt man sich die positiven Zahlen rechts vom Nullpunkt, die negativen Zahlen links davon. Von zwei Zahlen ist diejenige die gr¨oßere, die weiter rechts liegt. Addition einer Zahl a entspricht einer Verschiebung (nach rechts, wenn a > 0, nach links, ¨ wenn a < 0). Der Ubergang von x zu −x bedeutet eine Spiegelung am Nullpunkt; dabei werden die Rollen von rechts und links vertauscht. 1 Die Zahlengerade a+x a+y ✲ § 3 Die Anordnungs-Axiome 27 (Es ist nat¨urlich nur eine Konvention, dass die Zahlen in Richtung von links nach rechts gr¨oßer werden; man h¨atte genauso gut die andere Richtung w¨ahlen k¨onnen.

Eine Folge (an ), die nicht konvergiert, heißt divergent. Behandlung der Beispiele Wir untersuchen jetzt die eingangs gebrachten Beispiele von Folgen auf Konvergenz bzw. Divergenz. 1) Die konstante Folge (a, a, a, . ) konvergiert trivialerweise gegen a. 2) lim = 0, die Folge (1/n)n 1 ist also eine Nullfolge. Denn sei ε > 0 vorgegeben. Nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein N ∈ N mit N > 1/ε. Damit ist 1 1 −0 = < ε f¨ur alle n N . 9. 3) Die Folge an = (−1)n , n ∈ N, divergiert. Beweis. Angenommen, die Folge (an ) konvergiert gegen eine reelle Zahl a.

An nicht-negative reelle Zahlen. Man beweise: n n 1 + ∑ ai . 6. Seien a1 , . , an nicht-negative reelle Zahlen mit ∑ ai 1. Man beweise: i=1 n a) n ∏(1 + ai) 1 + 2 ∑ ai , ∏(1 − ai) 1 − ∑ ai . 7. Man beweise: F¨ur jede nat¨urliche Zahl n gen: a) n 1 k nk b) 1+ c) n 3 1 n n 1 k! n 1 gelten die folgenden Aussa- f¨ur alle k ∈ N, n 1 ∑ k! < 3, k=0 1 n! 8. Man beweise: F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen n gilt n n n! 2 . 9. Man zeige: F¨ur alle reellen Zahlen x, y gilt max(x, y) = 12 (x + y + |x − y|), min(x, y) = 12 (x + y − |x − y|).

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by Richard
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